Question

如图，△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，D是AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD，交BC于E，求证：BE=2EC．

Answer 1

证明：设AE与BD交于点F，过点D作DG∥BC交AE于点G，
∵D是AC的中点，
∴DG是△AEC的中位线，
∴EC=2GD，
∵AB=AC，
∴AB=2AD，
∵AB⊥AC，
∴BD==AD，
∵∠BAD=∠DFA=90°，
∵∠ABD+∠ADF=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ABD=∠DAF，
∴△AFD∽△BAD，
∴，
∴DF=AD，
∴BF=BD-DF=AD，
∴DF：BF=1：4，
∵GD∥BC，
∴△DFG∽△BFE，
∴=，
∴BE=4GD，
∴BE=2EC．
分析：首先设AE与BD交于点F，过点D作DG∥BC交AE于点G，由AB=AC，AB⊥AC，D是AC的中点，易求得EC=2GD，BD=AD，又可证得△AFD∽△BAD，由相似三角形的对应边成比例，可求得DF=AD，即可得DF：BF=1：4，又由△DFG∽△BFE，即可得BE=4DG，继而证得BE=2EC．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形的中位线定理．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．