Question

【题目】如图示，是的直径，点是半圆上的一动点（不与，重合），弦平分，过点作交射线于点.

（1）求证：与相切：

（2）若，，求长；

（3）若，长记为，长记为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）4；（3）

【解析】

（1）首先连接，通过半径和角平分线的性质进行等角转换，得出，进而得出，即可得证；

（2）首先连接，得出，进而得出，再根据勾股定理得出DE；

（3）首先连接，过点作，得出，再得，进而得出，然后构建二次函数，即可得出其最大值.

（1）证明：连接

∵

∴

∵平分

∴

∴

∴

∵

∴

又∵是的半径

∴与相切

（2）解：连接

∵AB为直径

∴∠ADB=90°

∵

∴

∴

∴

∴中

（3）连接，过点作于

∵，DE⊥AE，AD=AD

∴

∴，DE=DG

∴

∴

∴

即：

∴

∴

根据二次函数知识可知：当时，