Question

情境·观察：

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△,如图1所示，将△的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D，A（），B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：旋转角= ° ，与BC相等的线段是 。

问题·探究：

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。

 

关系·拓展：

如图4，已知正方形ABCD，P为边BC上任意一点，连结AP，把AP绕点P顺时针方向旋转90°，点A对应点为点，连接,求的度数。

 

Answer 1

（1） 90°，AD；（2）EP=FQ，证明见解析；（3）45°.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质、旋转的性质填空；

（2）由全等三角形△APE≌△BGA的对应边相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的对应边相等知FQ=AG，所以易证EP=FQ；

（3）由旋转的性质易求∠A1CE=45°.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴如图1，在Rt△ADC与Rt△ABC中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），

即如图2，Rt△ABC≌Rt△C'DA′，

∴BC=AD，∠BAC=∠DC′A′．

又∵∠DC′A′+∠DA′C′=90°，

∴∠DA′C′+∠CAB=90°，

∴∠CAC′=90°．

问题·探究：

【解析】
EP=FQ

∵∠AGB=∠EPA=∠EAB=90°

∴∠EAP+∠PEA=90°

∠EAP+∠BAG=90°

∴∠BAG=∠PEA

∵∠EPA=∠AGB

∠PEA=∠BAG

AE=AB

∴△EPA≌△AGB

∴EP=AG

同理：QF=AG

∴EP=FQ

联系·拓展：

【解析】
∠A1CE=45°

过A1作A1Q⊥BE于点Q

由上可知：△ABP≌△A1QP

∴BP=A1Q，AB=PQ

∵AB=BC

∴BC=PQ

∴BP=CQ

∴A1Q=CQ

∴∠A1CE =45°

考点: 相似形综合题.