Question

如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴分别交于A、B、C、D四点，弦AF交半径OB于点E，过点F作⊙O的切线分别交x轴、y轴于P、Q两点．
（1）求证：PE=PF；
（2）若∠FAQ=30°，求直线PQ的函数表达式；
（3）在（2）的前提下，动点M从点A出发，以单位长度/s的速度沿向终点F运动（如图2），设运动时间为t s，那么当t为何值时，△AMF的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

（1）证明：连OF，如图1，
∵PQ切⊙O于F点，
∴OF⊥PQ，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠4+∠A=90°，
而∠4=∠3，
∴∠3+∠A=90°，
又∵OA=OF，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠3，
∴PE=PF；

（2）解：如图1，
∵∠FAQ=30°，
∴∠1=30°，
∴∠FOQ=60°，
∴∠FQO=30°，
又∵A点的坐标为（0，3），
∴OF=3，
∴OQ=2OF=6，
OP=OQ=2，
∴P（-2，0），Q（0，-6），
设直线PQ的函数表达式为y=kx+b，
把P（-2，0），Q（0，-6）代入得，-2k+b=0，b=-6，解得k=-，b=-6，
∴直线PQ的函数表达式为y=-x-6；

（3）解：要使△AMF的面积最大，则AF边上的高最大，过O作ON⊥AF于N，交于M′，如图2，
∴AN=FN，弧AM′=弧FM′，
在Rt△ANO中，∠NAO=30°，OA=3，
∴ON=OA=，AN=，
∴AF=2AN=3，
∴M′N=+3=，
∴△AM′F的面积=××3=；
∵∠AOF=120°，
∴∠AOM′=∠FOM′=120°，
∴弧AM′的长度==2π，
∴t==6（s），
∴当t为6s时，△AMF的面积最大，最大面积是．
分析：（1）连OF，如图1，根据切线的性质得到∠1+∠2=90°，而∠4+∠A=90°，∠4=∠3，则∠3+∠A=90°，而∠1=∠A，可得到∠2=∠3，即可得到结论；
（2）由∠FAQ=30°，易得到∠FQO=30°，而OF=3，根据含30°的直角三角形三边的关系得到OQ=2OF=6，OP=OQ=2，则P（-2，0），Q（0，-6），然后利用待定系数法确定直线PQ的函数表达式；
（3）要使△AMF的面积最大，则AF边上的高最大，即M运动到的中点．过O作ON⊥AF于N，交于M′，如图2，根据垂径定理得到AN=FN，弧AM′=弧FM′，在Rt△ANO中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到ON=OA=，AN=，则AF=2AN=3，M′N=+3=，然后根据三角形面积公式即可求最大面积即△AM′F的面积；又∠AOF=120°，得到∠AOM′=∠FOM′=120°，根据弧长公式计算出弧AM′的长度，然后除以速度即可得到此时t的值．
点评：本题考查了一次函数的综合题：利用待定系数法确定一次函数的解析式；同时运用切线的性质定理、垂径定理、圆周角定理以及弧长公式；也考查了含30°的直角三角形三边的关系．