Question

将12分成两部分，使它们的乘积为正整数k，试探求：

(1)将12分成怎样的两部分，可以使他们的乘积k等于20或27？

(2)有没有这样的k，随便怎样分，都无法使它们的乘积等于这个k？

(3)两部分的乘积正整数k，有没有最大的或最小的数值？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)设分成x、12－x两部分，则根据题意可列出方程 　　x(12－x)＝k当k＝20时，x(12－x)＝20 　　整理，得　　x2－12x＋20＝0 　　解这个方程得　　x1＝2，x2＝10 　　当x1＝2时，12－x＝10，当x2＝10时，12－x＝2 　　所以此时12可以分成2、10两部分． 　　当k＝27时，x(12－x)＝27 　　整理，得　　x2－12x＋27＝0 　　解这个方程，得　　x1＝3，x2＝9 　　当x1＝3时，12－x＝9；当x2＝9时，12－x＝3. 　　(2)对方程x(12－x)＝k讨论： 　　整理，得　　x2－12x＋k＝0 　　b2－4ac＝(－12)2－4×1×k＝144－4k根据题意，得　　144－4k＜0． 　　即　　k＞36． 　　当　　k＞36时，此方程无解．也就是说，当k取大于36的整数时，随便怎样分，都无法使它们的乘积等于这个k． 　　(3)对一元二次方程x2－12x＋k＝0而言， 　　x＝＝6± 　　要使36－k为完全平方数，k又要为正整数，故最大的k为36，最小的k为11． 　　评析：构造一元二次方程，把问题转化为对一元二次方程解进行讨论是一元二次方程根的判别式的重要应用，此种方法也叫“Δ法”．

提示：

思路与技巧：建立方程模型是解决此问题的好方法，若把12分成x，12－x两部分．即可得到方程x(12－x)＝k，然后探讨，所谓好不好分，就是方程有没有整数解，有没有最大的或最小的正整数使方程x(12－x)＝k成立．