题目内容

如图，已知矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B（4，3），反比例函数y=
k
x
图象与BC交于点D，与AB交于点E，其中D（1，3）．
（1）求反比例函数的解析式及E点的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）若矩形OABC对角线的交点为F (2，
3
2
)，作FG⊥x轴交直线DE于点G．
①请判断点F是否在此反比例函数y=
k
x
的图象上，并说明理由；
②求FG的长度．
分析：（1）把点D（1，3）直接代入反比例函数的解析式即可得出k的值，进而得出反比例函数的解析式，再根据B（4，3）可知，直线AB的解析式x=4，再把x=4代入反比例函数关系式即可求出E点坐标；
（2）根据D、E两点的坐标用待定系数法求出直线DE的解析式；
（3）①直接把点F的坐标代入（1）中所求的反比例函数解析式进行检验即可；
②求出G点坐标，再求出FG的长度即可．
解答：解：（1）∵D （1，3）在反比例函数y=
k
x
 的图象上，
∴3=
k
1
，
解得k=3
∴反比例函数的解析式为：y=
3
x
，
∵B（4，3），
∴当x=4时，y=
3
4
，
∴E（4，
3
4
）；

（2）设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵D（1，3），E（4，
3
4
），
∴
k+b=3
4k+b=
3
4
，
解得
k=-
3
4
b=
15
4
，
∴直线DE的解析式为：y=-
3
4
x+
15
4
；

（3）①点F在反比例函数的图象上．
理由如下：
∵当x=2时，y=
3
x
=
3
2

∴点F在反比例函数 y=
3
x
的图象上．
②∵x=2时，y=-
3
4
x+
15
4
=
9
4
，
∴G点坐标为（2，
9
4
）
∴FG=
9
4
-
3
2
=
3
4
．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数的解析式及矩形的性质，涉及面较广，难度适中．
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3
，双曲线y=
k
x
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k
x
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如图，已知OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝，过点D作DE垂直OA的延长线且交于点E．（1）求证：△OAB∽△EDA；

（2）当为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由；并求出此时B、D两点的距离．

 

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