Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m-1）x-2m²+m=0（m为实数）有两个实数根x₁、x₂．
（1）当m为何值时，x₁≠x₂；
（2）若x₁²+x₂²=2，求m的值．

Answer 1

解：（1）x²+（m-1）x-2m²+m=0（m为实数）有两个实数根x₁、x₂．
∵a=1，b=m-1，c=-2m²+m，
∴△=b²-4ac=（m-1）²-4（-2m²+m）=m²-2m+1+8m²-4m=9m²-6m+1=（3m-1）²，
要使x₁≠x₂，则应有△＞0，即△=（3m-1）²＞0，
∴m≠；
（2）根据题意得：x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂==-2m²+m
∵x₁²+x₂²=2，即x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即（1-m）²-2（-2m²+m）=2，
解得m₁=，m₂=1．
分析：（1）当m为何值时x₁≠x₂，即方程有两个不同的根，则根的判别式△＞0．
（2）依据根与系数关系，可以设方程的两根是x₁、x₂，则可以表示出两根的和与两根的积，
依据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即可得到关于m的方程，即可求得m的值．
点评：本题是常见的根的判别式与根与系数关系的结合试题．把求未知系数m的问题转化为解方程问题是解决本题的关键．