Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是___.

Answer 1

【答案】7

【解析】

根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．

∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，

∴CG=DG=×8=4，

在△DEG和△CFG中，

，

∴△DEG≌△CFG(ASA)，

∴DE=CF，EG=FG，

设DE=x，

则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，

在Rt△DEG中,EG=，

∴EF=，

∵FH垂直平分BE，

∴BF=EF，

∴4+2x=，

解得x=3，

∴AD=AE+DE=4+3=7，

∴BC=AD=7.

故答案为：7.