Question

如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于E、F，且△CEF∽△CBA，若S△CEF=

1

4

S△ABC，则∠C=

 

．

Answer 1

分析：根据相似三角形的性质推出

CE

BC

=

1

2

，连接BE，由AB是直径推出∠BEA=90°，根据邻补角的定义得出∠BEC=90°，根据锐角三角函数的定义即可求出∠C．

解答：解：∵△CEF∽△CBA，S△CEF=

1

4

S△ABC，
∴

CE

CB

=

1

2

，
连接BE，
∵AB是直径，
∴∠BEA=90°，
∴∠BEC=180°-90°=90°，
∴cosC=

CE

CB

=

1

2

，
∴∠C=60°，
故答案为：60°．

点评：本题主要考查对相似三角形的性质，圆周角定理，邻补角的定义，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用相似三角形的性质和圆周角定理进行证明是解此题的关键，题型较好，比较典型，难度适中．