Question

【题目】如图，四边形中，，平分，交于．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）是直角三角形，理由详见解析.

【解析】

(1)利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；

(2)利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．

(1)∵AB∥CD，CE∥AD，

∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，

又∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴AD=DC，

∴平行四边形AECD是菱形；

(2)直角三角形，理由如下：

∵四边形AECD是菱形，

∴AE=EC，

∴∠2=∠4，

∵AE=EB，

∴EB=EC，

∴∠5=∠B，

又因为三角形内角和为180°，

∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，

∴∠ACB=∠4+∠5=90°，

∴△ACB为直角三角形．