题目内容

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋x＋m2－3m＋2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上．

(1)求点B的坐标；

(2)点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED＝PE．以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F．延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

答案：
解析：

　　解：(1)∵抛物线y＝－x2＋x＋m2－3m＋2经过原点，∴m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2，

　　由题意知m≠1，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x，∵点B(2，n)在抛物线y＝－x2＋x上，∴n＝4，∴B点的坐标为(2，4)．

　　(2)①设直线OB的解析式为y＝k1x，求得直线OB的解析式为y＝2x，∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为(a，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图．

　　可求得点C的坐标为(3a，2a)，由C点在抛物线上，得2a＝－´ (3a)2＋´ 3a，即a2－a＝0，解得a1＝，a2＝0(舍去)，∴OP＝．

　　②依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y＝k2x＋b，由点A(10，0)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y＝－x＋5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：

第一种情况：CD与NQ在同一条直线上．如图所示．

　　可证△DPQ为等腰直角三角形．此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位．∴PQ＝DP＝4t，∴t＋4t＋2t＝10，∴t＝．

　　第二种情况：PC与MN在同一条直线上．如图所示．

　　可证△PQM为等腰直角三角形．此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位．∴OQ＝10－2t，∵F点在直线AB上，∴FQ＝t，∴MQ＝2t，∴PQ＝MQ＝CQ＝2t，∴t＋2t＋2t＝10，∴t＝2．

　　第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图所示．

　　此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位．∴t＋2t＝10，∴t＝．综上，符合题意的t值分别为，2，．


练习册系列答案
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（1，-1），（5，3）或（5，-1）
．

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