Question

【题目】如图，AB为半圆的直径，点D在半圆弧上，过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C，点E在AB上，若DE垂直平分BC，则＝______．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，可证四边形ACHB是矩形，可得AC＝BH，AB＝CH，由垂直平分线的性质可得BE＝CE，CD＝BD，可证CE＝BE＝CD＝DB，通过证明Rt△ACE≌Rt△HBD，可得AE＝DH，通过证明△ACD∽△DHB，可得AC2＝AEBE，由勾股定理可得BE2﹣AE2＝AC2，可得关于BE，AE的方程，即可求解．

解：连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，

∵AC是半圆的切线

∴AC⊥AB，

∵CD∥AB，

∴AC⊥CD，且BH⊥CD，AC⊥AB，

∴四边形ACHB是矩形，

∴AC＝BH，AB＝CH，

∵DE垂直平分BC，

∴BE＝CE，CD＝BD，且DE⊥BC，

∴∠BED＝∠CED，

∵AB∥CD，

∴∠BED＝∠CDE＝∠CED，

∴CE＝CD，

∴CE＝BE＝CD＝DB，

∵AC＝BH，CE＝BD，

∴Rt△ACE≌Rt△HBD（HL）

∴AE＝DH，

∵CE2﹣AE2＝AC2，

∴BE2﹣AE2＝AC2，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADC+∠BDH＝90°，且∠ADC+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BDH，且∠ACD＝∠BHD，

∴△ACD∽△DHB，

∴，

∴AC2＝AEBE，

∴BE2﹣AE2＝AEBE，

∴BE＝AE，

∴

故答案为：．