题目内容
实验与探究：三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]
=[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]+[n+（n-1）+（n-2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n=
| 1 |
| 2 |
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是
| 1 |
| 2 |
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有
| 1 |
| 2 |
整理这个方程，得：n2+n-600=0
解方程得：n1=24，n2=-25
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
考点：一元二次方程的应用,规律型：图形的变化类
专题：规律型,探究型
分析：（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和，前n行共有
个点，则
=600，然后解方程得到n的值；
（2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×
个进而得出规律；根据规律可得n（n+1）=600，求n的值即可．
| n(n+1) |
| 2 |
| n(n+1) |
| 2 |
（2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×
| n(n+1) |
| 2 |
解答：解：（1）由题意可得：
=600，
整理得n2+n-1200=0，
此方程无正整数解，
所以，三角点阵中前n行的点数的和不可能是600；
（2）由题意可得：
2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×
=n（n+1）；
依题意，得n（n+1）=600，
整理得n2+n-600=0，
（n+25）（n-24）=0，
∴n1=-25，n2=24，
∵n为正整数，
∴n=24．
故n的值是24．
| n(n+1) |
| 2 |
整理得n2+n-1200=0，
此方程无正整数解，
所以，三角点阵中前n行的点数的和不可能是600；
（2）由题意可得：
2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×
| n(n+1) |
| 2 |
依题意，得n（n+1）=600，
整理得n2+n-600=0，
（n+25）（n-24）=0，
∴n1=-25，n2=24，
∵n为正整数，
∴n=24．
故n的值是24．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
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