Question

已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=

3

，BC=1．连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．
（1）求证：△BFG∽△FEG；
（2）求出BF的长；
（3）求

BP

QR

=

 

（直接写出结果）．

Answer 1

分析：（1）由题意得出FG=

3

，GE=1，BG=3，则

FG

BG

=

EG

FG

，再由∠FGE=∠BGF，得△BFG∽△FEG；
（2）根据△BFG∽△FEG，得

FG

BG

=

FE

BF

，再由FG=FE，求出BF即可；
（3）根据相似三角形的性质直接得出答案即可．

解答：解：（1）证明：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，
∴FG=AB=

3

，GE=BC=1，BG=3BC=3，
∴

FG

BG

=

3

3

，

EG

FG

=

1

3

=

3

3

，
∴

FG

BG

=

EG

FG

，
∵∠FGE=∠BGF，
∴△BFG∽△FEG；

（2）由（1）知：△BFG∽△FEG，
∴

FG

BG

=

FE

BF

，
∵FG=FE，
∴BF=BG=3；

（3）∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，
∴∠ACB=∠DEC，BC=CE，
∴AC∥DE，
∴

BP

PR

=

BC

CE

，
∴BP=PR，
同理：CQ∥EF，
∴CQ=

1

2

EF，
∴CQ=DQ，
∵AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ，
∴PQ=QR，
∴BP=2QR，
∴

BP

QR

=2．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．