Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=﹣ （x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为
a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，AB交y轴于C，

∵AB∥x轴，

∴S△OAC= ×|4|=2，S△OBC= ×|﹣4|=2，

∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；

（2）

解：∵A、B的横坐标分别为a、b，

∴A、B的纵坐标分别为 、﹣ ，

∴OA2=a2+（ ）2，OB2=b2+（﹣ ）2，

∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴a2+（ ）2=b2+（﹣ ）2，

∴a2﹣b2+（ ）2﹣（ ）2=0，

∴a2﹣b2+ =0，

∴（a+b）（a﹣b）（1﹣ ）=0，

∵a+b≠0，a＞0，b＜0，

∴1﹣ =0，

∴ab=﹣4；

（3）

解：∵a≥4，

而AC=3，

∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1= （x＞0）的图象一定有交点，

设直线CD与函数y1= （x＞0）的图象交点为F，如图2，

∵A点坐标为（a， ），正方形ACDE的边长为3，

∴C点坐标为（a﹣3， ），

∴F点的坐标为（a﹣3， ），

∴FC= ﹣ ，

∵3﹣FC=3﹣（ ﹣ ）= ，

而a≥4，

∴3﹣FC≥0，即FC≤3，

∵CD=3，

∴点F在线段DC上，

即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．

【解析】（1）如图1，AB交y轴于C，由于AB∥x轴，根据k的几何意义得到S△OAC=2，S△OBC=2，所以S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；（2）根据函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为 、﹣ ，根据两点间的距离公式得到OA2=a2+（ ）2 ， OB2=b2+（﹣ ）2 ， 则利用等腰三角形的性质得到a2+（ ）2=b2+（﹣ ）2 ， 变形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣ ）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣ =0，易得ab=﹣4；（3）由于a≥4，AC=3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1= （x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1= （x＞0）的图象交点为F，由于A点坐标为（a， ），正方形ACDE的边长为3，则得到C点坐标为（a﹣3， ），F点的坐标为（a﹣3， ），所以FC= ﹣ ，然后比较FC与3的大小，由于3﹣FC=3﹣（ ﹣ ）= ，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判断点F在线段DC上．
【考点精析】认真审题，首先需要了解反比例函数的图象(反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点)，还要掌握反比例函数的性质(性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大)的相关知识才是答题的关键．