Question

16．如图，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（点P不与A，B重合），分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作等边三角形APC和等边三角形PBD，连接AD，BC相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由．

Answer 1

分析 首先根据等边三角形的性质得到PA=PC，∠APC=60°，PB=PD，∠BPD=60°，于是得到∠APD=∠CPB，证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解．

解答 解：α的大小不会随点P的移动而变化，
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD与△CPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=PC}\\{∠APD=∠CPB}\\{PD=PB}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°．
∴α的大小不会随点P的移动而变化．

点评 本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键．