Question

（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．

（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值

Answer 1

（1）略
（2）
（3）（或）解析:
解（1）同意. 连接EF，则∠BEG=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF.

∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF="DF.     " ………………………………1分
（2）由（1）知，GF="DF." 设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y.
∵DC=2DF，∴CF=x，DC="AB=BG=2x." ∴BF=BG+GF=3x.
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BP2，即y2+x2=(3x)2.
∴y=2x. ∴    …………………………………………3分
（3）由（1）知GF="DF." 设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y.
∵DC=n·DF，∴DC="AB" ="BG=nx."
∴CF=（n-1）x，BF=BG+GF=（n+1）x.
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2.
∴y=2x. ∴（或）  ………………………… 5分