Question

4．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则$\frac{AP}{PB}$的值=3，tan∠APD的值=2．

Answer 1

分析 首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．

解答 解：∵四边形BCED是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AC}{DB}$=3，
连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF=$\frac{BF}{PF}$=2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2，
故答案为：3，2．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．