Question

如图1，在△ABC和△PQD中，AC=kBC，DP=kDQ，∠C=∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H，猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想。

Answer 1

解：结论：EH=AC；
证明：取BC边中点F，连接DE、DF，
∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC且DE=BC，DF∥AC且DF=AC，EC=AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴∠EDF=∠C，
∵∠C=∠PDQ，
∴∠PDQ=∠EDF，
∴∠PDF=∠QDE，
又∵AC=kBC，
∴DF=kDE，
∵DP=kDQ，
∴，
∴△PDF∽△QDE，
∴∠DEQ=∠DFP，
又∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C，
∴∠C=∠EHC，
∴EH=EC，
∴EH=AC；
选图2，结论：EH=AC；
证明：取BC边中点F，连接DE、DF，
∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC且DE=BC，DF∥AC且DF=AC，EC=AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴∠EDF=∠C，
∵∠C=∠PDQ，
∴∠PDQ=∠EDF，
∴∠PDF=∠QDE，
又∵AC=BC，
∴DE=DF，
∵PD=QD，
∴△PDF≌△QDE，
∴∠DEQ=∠DFP，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C，
∴∠C=∠EHC，
∴EH=EC
∴EH=AC；
选图3，结论：EH=AC；
证明：连接AH，
∵D是AB中点，
∴DA=DB，
又∵DB=DQ，
∴DQ=DP=AD，
∴∠DBQ=∠DQB，
∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ=180°，
∴∠AQB=90°，
∴AH⊥BC，
又∵E是AC中点，
∴HE=AC。