Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，点E为AD边上一动点（不与A、D重合），连接CE，作EF⊥CE交AB边于F
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）当△ECF∽△AEF时，求AF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵△ECF∽△AEF，
∴=，
∵△AEF∽△DCE，
∴=，
∴AE=ED==，
∵△AEF∽△DCE，
∴=，
即=，
∴AF=．
分析：（1）由在矩形ABCD中，EF⊥CE，根据等角的余角相等，可得∠AFE=∠DEC，又由∠A=∠D=90°，即可证得：△AEF∽△DCE；
（2）由△AEF∽△DCE，△ECF∽△AEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．