题目内容
【题目】有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.
（1）证明：RP=RQ；
（2）请探究下列变化：
A、变化一：交换题设与结论.已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ.证明：RQ为⊙O的切线.
B、变化二：运动探求. ①如图2，若OA向上平移，变化一中结论还成立吗？(只交待判断) 答：_________.
②如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？
【答案】（1）证明见解析；
（2）变化一：证明见解析；变化二：①结论成立；②结论成立，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）首先连接OQ，由切线的性质，可得∠OQB+∠BQR=90°，又由OA⊥OB，可得∠OPB+∠B=90°，继而可证得∠PQR=∠BPO=∠RPQ，则可证得RP=RQ，
（2）A、变化一，连接OQ， 证明∠OQR=90°即可；
B、变化二：①若OA向上平移，变化一中的结论还成立，证明思路同变化一；
②如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立，连接OQ，证明思路同（1）；
试题解析：（1）连接OQ，
∵OQ=OB，∴∠OBP=∠OQP，
又∵QR为⊙O的切线，
∴OQ⊥QR，
即∠OQP+∠PQR=90°，
而∠OBP+∠OPB=90°，
故∠PQR=∠OPB，
又∵∠OPB与∠QPR为对顶角，
∴∠OPB=∠QPR，∴∠PQR=∠QPR
∴RP=RQ；
变化一、连接OQ，
∵RP=RQ，
∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠OQB+∠PQR=90°，
即∠OQR=90°，
∴RQ为⊙O的切线；
变化二、(1)结论成立 ，
连接OQ，
∵RP=RQ，
∴∠PQR=∠QPR=∠BPM，
又∵OB=OQ，RP⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPM=90°，
∴∠OQB+∠PQR=90°，
即∠OQR=90°，
∴RQ为⊙O的切线；
(2)结论成立，
连接OQ，
∵RQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥QR，
∴∠OQB+∠PQR=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°，
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B，
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ，
∴RP=RQ．
名校课堂系列答案
