Question

如图，BD是⊙O的弦．过点D作⊙O的切线交BO延长线于点A．AC⊥AD交BD延长线于点C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=5，∠B=25°．求AD的长．（精确到0.1）

Answer 1

分析：遇到切点，连接切点和圆心构造垂直是常用的手段．连接OD，利用OD⊥AD和AC⊥AD得到OD∥AC，进而得到∠B=∠ODB=∠C，从而得到AB=AC．而第二问直接利用解直角三角形得到．

解答：（1）证明：连接OD．
∵AD切⊙O于D，
∴OD⊥AD．
∵AC⊥AD，
∴∠ODA=∠DAC=90°．
∴OD∥AC．
∴∠1=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠1．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）解：由（1）得，∠C=∠B，AB=AC，
∴∠C=25°，AC=5．
在Rt△ACD中，tanC=

AD

AC

，
∴AD=ACtanC=5tan25°≈2.3．

点评：本题考查了切线的性质及解直角三角形的应用，应重点掌握．