Question

【题目】如图，在矩形中，，将矩形对折，得到折痕;沿着折叠,点的对应点为与的交点为;再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为.下列结论:①是直角三角形:②点在同一条直线上;③;④;⑤点是的外心，其中正确的个数为（ ）

A.个B.个C.个D.个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据折叠的性质得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，求得△CMP是直角三角形，故①正确；根据平角的定义得到点C、E、G在同一条直线上，故②正确；AB＝1，则AD＝2，得到DM＝AD＝，根据勾股定理得到CM＝＝，根据射影定理得到CP＝＝，得到PC＝MP，故③正确；求得PB＝AB=，，故④正确；根据平行线等分线段定理得到CF＝PF，求得点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确．

∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，

∴∠DMC＝∠EMC，

∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，

∴∠AMP＝∠EMP，

∵∠AMD＝180°，

∴∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，

∴△CMP是直角三角形；故①正确；

∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，

∴∠D＝∠MEC＝90°，

∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，

∴∠MEG＝∠A＝90°，

∴∠GEC＝180°，

∴点C、E、G在同一条直线上，故②正确；

∵AD＝2AB，

∵AB＝1，则AD＝2，

∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；

∴DM＝AD＝

∴CM＝＝，

∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，

∴CM2＝CNCP，

∴CP＝＝，

∴PN＝CPCN＝

∴PM＝=

∴，

∴PC＝MP，故③正确；

∵PC＝AB=，

∴PB＝-=

∴，故④正确，

∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，

∴CE＝EG，

∵∠CEM＝∠G＝90°，

∴FE∥PG，

∴CF＝PF，

∵∠PMC＝90°，

∴CF＝PF＝MF，

∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；

故选：D．