Question

（2012•洪山区模拟）如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB与⊙O交于C，且点C为OB的中点，过C点作弦CD使∠ACD=45°，弧AD的长为

2

2

π，则以AD和AC的长为两根的一元二次方程是（　　）

• A．x²-（2+

  2

  ）x+2

  2

  =0
• B．x²-（2+

  2

  ）x-2

  2

  =0
• C．x²-（2-

  2

  ）x+2

  2

  =0
• D．x²-（2-

  2

  ）x-2

  2

  =0

Answer 1

分析：连OA、OD，设⊙O半径为R，根据圆周角定理得到∠AOD=2∠ACD=90°，则△AOD为等腰直角三角形，再利用弧长公式有

90•π•R

180

=

2

2

π，解得R=

2

，则AD=

2

OD=

2

×

2

=2，然后根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，而点C为OB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AC=

1

2

BC=OC=

2

，根据根与系数的关系可得以2和

2

为根的一元二次方程可为（x-2）（x-

2

）=0，化为一般式为：x²-（2+

2

）x+2

2

=0．

解答：解：连OA、OD，如图，设⊙O半径为R，
∵∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，则△AOD为等腰直角三角形，
∴弧AD的长=

90•π•R

180

，
而弧AD的长为

2

2

π，
∴

90•π•R

180

=

2

2

π，解得R=

2

，
∴AD=

2

OD=

2

×

2

=2，
又∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵点C为OB的中点，
∴AC=

1

2

BC=OC=

2

，
∴以2和

2

为根的一元二次方程可为（x-2）（x-

2

）=0，
化为一般式为：x²-（2+

2

）x+2

2

=0．
故选A．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理、弧长公式、直角三角形斜边上的中线性质以及一元二次方程根与系数的关系．