Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＞0；③b²+8a＞4ac．其中正确的结论是________．（填序号）

Answer 1

①③
分析：看图，当x=-2时，由函数值可得出结论①正确，由对称轴大于-1可知②错误，将点（-1，2）代入y=ax²+bx+c中得出a、b、c的数量关系，再根据对称轴大于-1得到不等式，将此不等式变形后知结论③正确．
解答：当x=-2时，函数值小于0，
即4a-2b+c＜0，故①正确；
由-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，可知对称轴x=-＞-1，且a＜0，
∴2a＜b，即2a-b＜0，故②错误；
将点（-1，2）代入y=ax²+bx+c中，得a-b+c=2，即c=2-a+b，
由图象可知对称轴x=-＞-1，得2a-b＜0，则（2a-b）²＞0，
即b²＞-4a²+4ab，
∴b²+8a＞8a-4a²+4ab=4a（2-a+b）=4ac，
故③正确．
故答案为：①③．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象得出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点与系数个关系，自变量取±1，±2时的函数值的符号，利用所得的等式或不等式变形．