Question

【题目】如图，点是的内心，的延长线和的外接圆圆相交于点，过作直线．

（1）求证：是圆的切线；

（2）若，，求优弧的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）优弧的长＝．

【解析】

（1）连接OD交BC于H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD，则，利用垂径定理得到OD⊥BC，BH=CH，从而得到OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）连接BD、OB，如图，先证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE=6，再利用正弦定义求出∠BDH=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以∠BOD=60°，OB=BD=6，则∠BOC=120°，然后根据弧长公式计算优弧的长．

（1）证明：连接交于，如图，

∵点是的内心，

∴平分，

即，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴是圆的切线；

（2）解：连接、，如图，

∵点是的内心，

∴，

∵，

∴

∴，

∵，

在中，，

∴，

而，

∴为等边三角形，

∴，，

∴，

∴优弧的长＝．