Question

【题目】如图1，AD、BD分别是的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．

（1）求证：；

（2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；

（3）如果∠ABC是锐角，且与相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）∠ABC=30°或者∠ABC=45°，或者

【解析】

(1)先根据题意证明以及，再适当变形即可得到答案；

(2)先根据角平分线的性质和直线平行的性质证明△BAF≌△CAF，再根据全等三角形的性质得到BF=CF，再根据BD：DE=2：3，计算即可得到答案；

(3)根据△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，因此△ABC中必有一个内角为90°，再根据∠ABC是锐角，得到∠ABC≠90°，再分情况讨论即可得到答案；

（1）证明：如图1中，

∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE，
∵AD平分∠BAC，

∴ ，

同理可得： ，

∴

，

（2）解：延长AD交BC于点F．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB=∠EAD=90°，

∴∠AFB=∠AFC=90°，

在△BAF和△CAF中，

∴△BAF≌△CAF(ASA)，

∴BF=CF（全等三角形对应边相等），

∵BD：DE=2：3

∴，

∴；

(3) ∵△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，
∴△ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC=∠DAE=90°时，

∵（由(1)知），

∵∠ABC+∠C=90°，

∴∠ABC=30°，

∴此时，

②当∠C=∠DAE=90°时，，

∴∠EDA=45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC=45°，

此时，

综上，∠ABC=30°或者∠ABC=45°，或者；