Question

已知：Rt△ABC的三边长均为整数，点A（4，0），B（0，3）．若点C在第一象限内且在反比例函数的图象上，则k的值为________．

Answer 1

12，，，
分析：如果求出了C点的坐标，那么只需将C点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k的值．由于AB=5，所以当Rt△ABC的三边长均为整数时，分AB为斜边和AB为直角边进行讨论：①如果AB=5为斜边，那么两条直角边分别为3，4．当AC=3时，易求C（4，3）；当BC=3时，根据直角三角形的性质及三角函数的定义，可求出C（，）；②如果AB=5为直角边，那么另外两条边分别为12，13．当AC=12时，根据相似三角形的判定与性质可求C（，）；当BC=12时，根据相似三角形的判定与性质可求C（，）．
解答：解：∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=5．
分两种情况：
①如果AB=5为斜边，那么两条直角边分别为3，4．
当AC=3时，则BC=4，C₁点坐标为（4，3），
所以k=4×3=12；
当BC=3时，设AC₂与BC₁交于点P，过点C₂作C₂D⊥BC₁于D．
由AAS易证△BPC₂≌△APC₁，则BP=AP，PC₂=PC₁．
设PC₁=x，则AP=BP=4-x，
在△APC₁中，由勾股定理，
得x²+3²=（4-x）²，解得x=．
则AP=BP=，
∴BD=BC₂•cos∠C₂BD=BC₂•cos∠C₁AP=3×=，C₂D=BC₂•sin∠C₂BD=BC₂•sin∠C₁AP=3×=，
∴OB+C₂D=3+=，
∴C₂点坐标为（，），
∴k=×=；
②如果AB=5为直角边，那么另外两条边分别为12，13．
当AC=12时，∠BAC=90°．过点C₃作C₃D⊥x轴于D．
∵∠C₃DA=∠AOB=90°，∠C₃AD=∠ABO=90°-∠OAB，
∴△C₃DA∽△AOB，
∴C₃D：AO=DA：OB=C₃A：AB，
即C₃D：4=DA：3=12：5，
∴C₃D=，DA=，
∴OD=OA+AD=4+=，
∴C₃点坐标（，），
∴k=×=；
当BC=12时，∠ABC=90°．过点C₄作C₄D⊥y轴于D．
∵∠C₄DB=∠BOA=90°，∠C₄BD=∠OAB=90°-∠ABO，
∴△C₄DB∽△BOA，
∴C₄D：BO=DB：OA=C₄B：BA，
即C₄D：3=DB：4=12：5，
∴C₄D=，DB=，
∴OD=OB+BD=3+=，
∴C₄点坐标（，），
∴k=×=．
综上可知，k的值为12，，，．
故答案为：12，，，．
点评：本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，综合性较强，熟记常见的勾股数及将Rt△ABC分AB为斜边和AB为直角边进行讨论是解题的关键．