题目内容
如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠ABC的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB=3，EF=2，求CD的长．
分析：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO=90°即可；
（2）证明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例关系式，勾股定理得出AE，BF的关系式，求出AE的长．
（2）证明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例关系式，勾股定理得出AE，BF的关系式，求出AE的长．
解答：
（1）证明：连接OE，OE交AC于G点；
∵BE平分∠ABC；
∴∠ABE=∠CBE；
∴
=
；
∴∠EAC=∠ABE；
∵EF∥AC；
∴∠AEF=∠EAC；
∴∠AEF=∠ABE；
∵OA=OE；
∴∠OAE=∠OEA；
∵AB是直径；
∴∠ABE+∠EAB=90°；
∴∠AEO+∠AEF=90°；
∴OE⊥EF；
∴EF是⊙O切线．
（2）解：易证△EAF∽△BEF；
∴
=
；
∴EF2=FB•AF；
∴AF=1；
∵△EAF∽△BEF；
∴
=
=
；
∵AB=3；
∴AE=
，BE=
；
∵AD∥EF；
∴△ABD∽△FBE；
=
=
；
∴BD=
；
∵△CBD∽△EBA；
=
=
；
∴CD=
BD=
．
（1）证明：连接OE，OE交AC于G点；∵BE平分∠ABC；
∴∠ABE=∠CBE；
∴
 |
| AE |
|
| CE |
∴∠EAC=∠ABE；
∵EF∥AC；
∴∠AEF=∠EAC；
∴∠AEF=∠ABE；
∵OA=OE；
∴∠OAE=∠OEA；
∵AB是直径；
∴∠ABE+∠EAB=90°；
∴∠AEO+∠AEF=90°；
∴OE⊥EF；
∴EF是⊙O切线．
（2）解：易证△EAF∽△BEF；
∴
| EF |
| FB |
| AF |
| EF |
∴EF2=FB•AF；
∴AF=1；
∵△EAF∽△BEF；
∴
| AE |
| BE |
| AF |
| EF |
| 1 |
| 2 |
∵AB=3；
∴AE=
3
| ||
| 5 |
6
| ||
| 5 |
∵AD∥EF；
∴△ABD∽△FBE；
| BD |
| BE |
| BA |
| BF |
| 3 |
| 4 |
∴BD=
9
| ||
| 10 |
∵△CBD∽△EBA；
| CD |
| BD |
| AE |
| AB |
| ||
| 5 |
∴CD=
| ||
| 5 |
| 9 |
| 10 |
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
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∥AC交BA的延长线于F．
如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交