平面直角坐标系中.已知y1=-x+2分别交x轴.y轴于点A和点B．(1)若y2=(x-1)2-k2与x轴交于点A.求k的值,(2)当k≠1时.y2=(x-1)2-k2交x轴于点C.D.交y轴于点M．过点D作y轴的平行线.交y1于点E.作矩形CDEF.连结MF．根据题意画出草图.并回答:①若矩形CDEF在x轴上方.求出此时k的取值范围.并比较此时点M与点F纵坐标的大小,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．平面直角坐标系中，已知y₁=-x+2分别交x轴，y轴于点A和点B．

（1）若y₂=（x-1）²-k²（k＞0）与x轴交于点A，求k的值；
（2）当k≠1时，y₂=（x-1）²-k²（k＞0）交x轴于点C，D（C在左边），交y轴于点M．过点D作y轴的平行线，交y₁于点E，作矩形CDEF，连结MF．根据题意画出草图，并回答：
①若矩形CDEF在x轴上方，求出此时k的取值范围，并比较此时点M与点F纵坐标的大小；
②当k为何值时，S_△OMF=$\frac{1}{2}$S_矩形CDEF．

分析（1）先求得A的坐标，将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得k的值；
（2）①把y=0代入y₂=（x-1）²-k²，可求得：x=1±k，从而得到D、C两点的坐标，然后在求得点E的坐标，最后依据点E的纵坐标列不等式求解即可，然后再求得点M的纵坐标和点F的纵坐标，最后依据k的范围可求确定出它们的大小；②由题意得可得到F（1-k，1-k），则当S_△OMF=$\frac{1}{2}$S_矩形CDEF．时，OM=CD，然后分为0＜k＜1和k＞1两种情况列方程求解即可．

解答解（1）将y₁=0代入得：-x+2=0，解得：x=2，
∴A（2，0）．
将点A的坐标代入抛物线的解析式得：0=1²-k²，解得：k=±1．
∵k＞0，
∴k=1．
（2）①如图1所示：

∵矩形在x轴上方，
∴点D在A左侧．
把y=0代入y₂=（x-1）²-k²，得0=（x-1）²-k²，
解得：x=1±k．
∵k＞0，
∴D（1+k，0），C（1-k，0）．
∴E（1+k，-k+1）．
∵点E在x轴的上方，
∴-k+1＞0，解得：k＜1．
又∵k＞0，
∴0＜k＜1．
由题意可得：M纵坐标为1-k²，F纵坐标为1-k，
∴1-k²-（1-k）=k（1-k）＞0
∴时M纵坐标＞F纵坐标．
②∵F（1-k，1-k），
∴点F到OM的距离等于点F到CD的距离．
∴△OMF与矩形CDEF等高，
∴当S_△OMF=$\frac{1}{2}$S_矩形CDEF．时，OM=CD
（i）当0＜k＜1时，1-k²=2k
解得：k=-1-$\sqrt{2}$（舍去）或k=-1$+\sqrt{2}$
（ii）当k＞1时，k²-1=2k，
解得：k=1-$\sqrt{2}$（舍去）或k=1+$\sqrt{2}$．
综上所述：k=-1+$\sqrt{2}$或k=1+$\sqrt{2}$．