题目内容
如图，在△ABC中，∠A=2∠C，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，试探究a、b、c之间的关系．
分析：先作∠BAC的角平分线AD，交BC于D，利用两组对应角相等易证△ABD∽△CBA，可得比例线段，利用比例线段可求BD、CD，而BD+CD=a，可求a、b、c的关系．
解答：解：作∠BAC的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD=
∠BAC=∠C，
∴AD=CD
又∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴
=
=
，
得BD=
，CD=
，
∵BD+CD=a，
∴
+
=a，
∴a2=c2+bc．
则∠BAD=∠CAD=
| 1 |
| 2 |
∴AD=CD
又∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴
| c |
| a |
| AD |
| b |
| BD |
| c |
得BD=
| c2 |
| a |
| bc |
| a |
∵BD+CD=a，
∴
| c2 |
| a |
| bc |
| a |
∴a2=c2+bc．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，要求学生熟练掌握．
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