Question

如图，在△ABC中，AB=AC=

5

，BC=2．现分别任作△ABC的内接矩形P₁Q₁M₁N₁，P₂Q₂M₂N₂，P₃Q₃M₃N₃，设这三个内接矩形的周长分别为c₁、c₂，c₃，则c₁+c₂+c₃的值是（　　）

• A．6
• B．6+3

  5

• C．12
• D．6

  5

Answer 1

分析：首先过点A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质，可得BD=CD=

1

2

BC=1，∠B=∠C，由勾股定理可求得AD的长，又可证得△BN₁P₁∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例，可证得N₁P₁=2BP₁，又由△BP₁N₁≌△CQ₁M₁（AAS），BP₁=CQ₁，则可求得c₁的值，同理可求得c₂，c₃的值，继而求得答案．

解答：解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=

5

，BC=2，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，∠B=∠C，
∴AD=

AB2-BD2

=2，
∵四边形P₁Q₁M₁N₁是矩形，
∴P₁Q₁=M₁N₁，N₁P₁=M₁Q₁，N₁P₁⊥BC，
∴N₁P₁∥AD，
∴△BN₁P₁∽△BAD，
∴BP₁：BD=N₁P₁：AD，
∴N₁P₁=2BP₁，
在△BP₁N₁和△CQ₁M₁中，
∵

∠B=∠C ∠BP1N1=∠CQ1M1=90° N1P1=M1Q1

，
∴△BP₁N₁≌△CQ₁M₁（AAS），
∴BP₁=CQ₁，
∴c₁=N₁P₁+P₁Q₁+M₁Q₁+M₁N₁=2BP₁+2P₁Q₁+2BP₁=2（BP₁+P₁Q₁+BP₁）=2（BP₁+P₁Q₁+CQ₁）=2BC=2×2=4，
同理：c₂=c₃=c₁=4．
∴c₁+c₂+c₃=12．
故选C．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与整体思想的应用．