Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，过点C、B分别作AD垂线，垂足分别为E、D．
（1）当AC=BC时，猜想ED、BD的数量关系，并证明你的猜想；
（2）当AC=k•BC时（如图2），则ED、BD的数量关系是

BD=

k2+1

ED

（用含有k的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）如图1，过点C作CK⊥BD交BD延长线于点K，可以得出四边形CEDK是矩形，由其性质可以得出△AEC≌△BKC，可以得出CE=ED．再根据条件可以得出△CAE∽△ABD，由相似三角形的性质可以得出

BD

DE

=

2

，进而可以得出结论．
（2）如图2，过点C作CK⊥BD交BD延长线于点K，可以得出四边形CEDK是矩形，根据矩形的性质及相应条件可以得出△AEC∽△BKC，可以得出

CE

CK

=

k•BC

BC

=k，有CE=kED．再根据△CAE∽△ABD可以得出

BD

CE

=

k2+1 BC

k•BC

=

k2+1

k

就可以得出BD=

k2+1

．

解答：解：（1）如图1，BD=

2

ED
证明：过点C作CK⊥BD交BD延长线于点K，
∴∠K=90°
∵CE⊥AD，BD⊥AD
∴∠CED=∠EDK=90°，
∴四边形CEDK是矩形，
∴DE=CK，∠ECK=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCK．
∵∠AMC=∠BMD，
∴∠CAE=∠CBK．
在△AEC和△BKC中

∠ACE=∠BCK AC=BC ∠CAE=∠CBK

，
∴△AEC≌△BKC，
∴CE=CK，
∴CE=ED．
∵∠CAE=∠BAD，∠CEA=∠BDA，
∴△CAE∽△ABD，
∴

BD

CE

=

AB

AC

=

2

，
∴

BD

DE

=

2

，
即BD=

2

ED．
（2）如图2，BD=

k2+1

ED．
理由：过点C作CK⊥BD交BD延长线于点K，
∴∠K=90°．
∵CE⊥AD，BD⊥AD，
∴∠CED=∠EDK=90°，
∴四边形CEDK是矩形，
∴DE=CK，∠ECK=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCK．
∵∠AMC=∠BMD，
∴∠CAE=∠CBK，
∴△AEC∽△BKC，
∴

CE

CK

=

AC

BC

，
∴

CE

CK

=

k•BC

BC

=k，
∴CE=kCK，
∴CE=kED．
∵∠CAE=∠BAD，∠CEA=∠BDA，
∴△CAE∽△ABD，
∴

BD

CE

=

AB

AC

．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得
AB²=AC²+BC²，
=（k．BC）²+BC²，
=（k²+1）BC²．
∴AB=

k2+1

BC，
∴

BD

CE

=

k2+1 BC

k•BC

=

k2+1

k

，
∴

BD

k•ED

=

k2+1

k

，
∴BD=

k2+1

ED．
故答案为：BD=

k2+1

ED．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时正确作出辅助线，证明三角形相似和全等是关键．