阅读情境:在综合实践课上.同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题 .如图1.△ABC≌△ADE.其中.∠B=∠D=90°.AB=BC=AD=DE=2.此时.点C与点E重合．操作探究1:(1)小凡将图1中的△ABC沿射线AD方向平移得到△A′B′C′.使点A′在边AD上.线段A′B′与AE相交于点N.线段A′C′与DE相交于点M.请你在图2中画出△ABC平移� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．阅读情境：
在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”，如图1，△ABC≌△ADE，其中，∠B=∠D=90°，AB=BC=AD=DE=2，此时，点C与点E重合．
操作探究1：
（1）小凡将图1中的△ABC沿射线AD方向平移得到△A′B′C′，使点A′在边AD上，线段A′B′与AE相交于点N，线段A′C′与DE相交于点M，请你在图2中画出△ABC平移后某一情形的△A′B′C′，并根据所画图形写出一个正确结论（题目中的已知条件均不能作为结论）；
操作探究2：
（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F，如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①当α=30°时，求证：△CEF为等边三角形；
②当α=45°时，四边形ACFE为平行四边形（直接回答即可）；
（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请从下列A、B两个问题中任选一题进行解答．
A：当β=60°时，请在图4中画出旋转得到的图形，并直接写出线段CE的长
B：当旋转到点F是边DE的中点时，请在图4中画出旋转得到的图形，并直接写出线段CE的长．

分析（1）如图2．结论不唯一：比如，AN′∥EM，EN=A′M，四边形A′NEM是平行四边形等；
（2）①如图3中，连接AF．先证明Rt△ABF≌Rt△ADF推出BF=DF，由BC=DE，推出BF-BC=DF-DE，即CF=EF，再证明∠ECF=60°即可；
②观察图象可知旋转45°时，四边形ACFE是平行四边形；
（3）A．易证△AEC是等边三角形，CE=AE=AC=2$\sqrt{2}$；
B．易证四边形BECD是矩形，可得EC=BD=2OB=2×$\frac{AB•BF}{AF}$；

解答解：（1）如图2．

结论不唯一：比如，AN′∥EM，EN=A′M，四边形A′NEM是平行四边形等．

（2）①证明：如图3中，连接AF．

∵∠B=∠D=90°，AB=AD，AF=AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF
∴BF=DF，
∵BC=DE，
∴BF-BC=DF-DE，即CF=EF，
∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠1=∠2=$\frac{180°-90°}{2}$=45°，
∵AC=AE，∠CAE=30°，
∴∠3=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠ECF=180°-∠2-∠3
=180°-45°-75°
=60°，
∴△CEF是等边三角形．
②观察图象可知旋转45°时，四边形ACFE是平行四边形，
故答案为45．

（3）A．易证△AEC是等边三角形，CE=AE=AC=2$\sqrt{2}$．

B．∵AB=AD，
∴点A在BD的中垂线上．
∵BF=DF，
∴点F在BD的中垂线上．
∴AF为BD的中垂线，AF⊥OB，BD=2OB．
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$•AB×BF，S_△ABF=$\frac{1}{2}$•OB×AF，
∴OB=$\frac{AB•BF}{AF}$
易证四边形BECD是矩形，可得EC=BD=2OB=2×$\frac{AB•BF}{AF}$=2×$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．