题目内容
【题目】如图，
、
、
的平分线交于
.
（1）
是什么角？（直接写结果）
（2）如图2，过点的直线交射线
于点
，交射线
于点
，观察线段
，你有何发现？并说明理由.
（3）如图2，过点的直线交射线于点，交射线于点，求证：
；
（4）如图3，过点的直线交射线的反向延长线于点，交射线于点，
，
，
，求
的面积.
【答案】（1）直角；（2）DE=CE，理由见解析；（3）理由见解析；（4）8.
【解析】
（1）根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAM+∠ABN＝180°，然后由角平分线的定义可证∠BAE+∠ABE＝90°，进而可得∠AEB＝90°；
（2）过点E作EF⊥AM，交AM与F，交BN于H，作EG⊥AB于G.由角平分线的性质可证EF=EH，然后根据“AAS”证明△CEF≌△DEH即可；
（3）在AB上截取AF＝AC，连接EF，可证△ACE≌△AFE，得到∠AEC＝∠AEF，进而证出∠FEB＝∠DEB，然后再证明△BFE≌△BDE，可得结论；
（4）延长AE交BD于F，由三线合一可知AB＝BF＝5，AE＝EF，根据“AAS” 证明△ACE≌△FDE，可得DF＝AC＝3，设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，根据S△ABE﹣S△ACE＝2，求出x的值，进而可求出△BDE的面积．
解：（1）∵AM//BN，
∴∠BAM+∠ABN＝180°，
∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴∠BAE＝
BAM，∠ABE＝
∠ABN，
∴∠BAE+∠ABE＝(∠BAM+∠ABN)＝90°，
∴∠AEB＝90°；
（2）如图，过点E作EF⊥AM，交AM与F，交BN于H，作EG⊥AB于G.
∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴EF=EG=EH.
∵AM//BN，
∴∠CFE=∠EHD.
在△CEF和△DEH中，
∵∠CFE=∠DHE=90°，
∠CFE=∠EHD，
EF=EH，
∴△CEF≌△DEH，
∴DE=CE；
（3）在AB上截取AF＝AC，连接EF，
在△ACE与△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE，
∴∠AEC＝∠AEF，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AEF+∠BEF＝∠AEC+∠BED＝90°，
∴∠FEB＝∠DEB，
在△BFE与△BDE中，
，
∴△BFE≌△BDE，
∴BF＝BD，
∵AB＝AF+BF，
∴AC+BD＝AB；
（4）延长AE交BD于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABN，
∴AB＝BF＝5，AE＝EF，
∵AM//BN，
∴∠C＝∠EDF，
在△ACE与△FDE中，
，
∴△ACE≌△FDE，
∴DF＝AC＝3，
∵BF＝5，
∴设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，
∵S△ABE﹣S△ACE＝2，
∴5x﹣3x＝2，
∴x＝1，
∴△BDE的面积＝8．
