Question

已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，，

    （1）证明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；

    （2）若AB=1，求AC的值；

（3）试构造一个等腰梯形，该梯形连同它的两条对角线，得到了8个三角形，要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形．（标明各角的度数）

Answer 1

解：（1）在△ABC中，AC＝BC，

∴ ∠B＝∠A＝36°，∠ACB＝108°.

在△ABC与△CAD中，∠A＝∠B＝36°；

∵ AC=AB?AD，

∴

∴ △ABC∽△CAD，  

∴ ∠A CD＝∠A＝36°．  

∴ ∠CDB＝72°，∠DCB＝108°－36°=72°．

∴ △ADC和△BDC都是等腰三角形． 

（2）设AC=，则，即．

解得 ，（负根舍去）．   

（3）说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分别给分．   

①有4个等腰三角形得1分；

②有6个等腰三角形，得2分；

③有8个等腰三角形，得3分．