Question

如图，M为正方形ABCD的边AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N． (1) 求证：MD=MN (2) 若将上述条件中的“M为AB的中点”改为“M是AB上任一点”，其他条件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？若成立请证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：取AD的中点P，连结PM，则 ∵四边形ABCD为正方形 ∴AD=AB，∴∠A=∠ABC=90° ∴∠1＋∠AMD=90°， 又DM⊥MN，∴∠2＋∠AMD=90° ∴∠1=∠2 ∵M为AB中点 ∴ ∴DP=MB，AP=AM ∴∠APM=∠AMP=45° ∴∠DPM=135° ∵BN平分∠CBE ∴∠CBN=45° ∴∠MBN=∠MBC＋∠CBN=90°＋45°=135° 即∠DPM=∠MBN ∴△DPM≌△MBN ∴DM=MN
(2)	结论仍然成立， 提示：在AD上取AP=MA，连结MP． DP=AD－APBM=AB－AM ∴DP=MB又∵∠1=∠2，∠APM=∠NBE=45° ∴∠DPM=∠MBN=135°∴△DPM≌△MBN ∴DM=MN