Question

（2009•梅州一模）如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙0与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F．
（1）求证：CD与⊙0相切；
（2）若⊙0的半径为

2

，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析：（1）连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，根据正方形性质推出∠ACB=∠ACD，根据角平分线性质推出OM=ON即可；
（2）设正方形ABCD的边长为a，证△COM∽△CAB得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，
∵⊙0与BC相切于M，
∴OM⊥BC，
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，
又∵ON⊥CD，OM⊥BC
∴OM=ON
∴CD与⊙O相切．

（2）解：设正方形ABCD的边长为a，
∵∠OCM=∠ACB，∠OMC=∠B=90°，
∴△COM∽△CAB，
∴

OM

AB

=

CO

CA

，
∴

2

a

=

2 a- 2

2 a

解得a=

2

+1，
∴正方形ABCD的边为

2

+1．

点评：本题考查了正方形性质、角平分线性质、切线的判定、相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．