Question

已知点A（8，0），B（0，6），C（0，-2），连接AB，点P为直线AB上一动点，过点P、C的直线l与AB及y轴围成△PBC，如图．
（1）求直线AB的解析式．
（2）如果PB=PC，求此时点P的坐标．
（3）点P在直线AB上运动，是否存在这样的点P，使得△PBC的面积等于△ABO的面积？若存在，请求出此时直线l的解析式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设AB两点的直线为y=kx+b，把点A（8，0），B（0，6）的坐标分别代入求出k和b的值即可；
（2）有（1）知：y=-

3

4

x+6．再根据等腰三角形的性质求得OM的长，即点P的纵坐标，代入之间AB的解析式即可求得横坐标；
（2）先设存在使△PBC的面积能等于△ABO的面积的点P，根据面积相等求得点P的坐标，再利用待定系数法求得直线l的解析式．

解答：解：（1）设过B（0，6）、A（8，0）的直线为y=kx+b，
则

6=b 0=8k+b

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴过A、B两点的直线为y=-

3

4

x+6；

（2）作PM垂直BC于M，由PB=PC知
MC=

1

2

BC=

1

2

×8=4，则OM=2，
设P点坐标为（a，2），代入y=-

3

4

x+6可求得a=

16

3

；
故P（

16

3

，2）；

（3）设△PBC的面积能等于△ABO的面积，此时点P的坐标为（x，-

3

4

x+6），
则：S_△AOB=24，S_△PBC=4x；
∴4x=24，
∴x=6；
即点P坐标为（6，1.5）；
设过P（6，1.5）、C（0，-2）的直线为y=k'x-2，则
1.5=6k'-2，
k'=

7

12

；
故直线l为y=

7

12

x-2．

点评：此题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及平面直角坐标系中图形的面积的求法．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．