Question

如图，半径为6.5的⊙O′经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）求A、B两点的距离以及点A和点B的坐标；
（2）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，当OC²=CD•BC时，求点C的坐标；
（3）若在以点C为顶点，且过点B的抛物线上和在⊙O′上是否分别存在点P，使△ABD的面积等于△POD的面积，即S_△ABD=S_△POD？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系写出OA+OB和OA•OB的值．连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径，再结合勾股定理列方程求解．
（2）若OC²=CD•CB，则△OCB∽△DCO，则∠COD=∠CBO，然后判断点C是弧OA的中点，连接O′C，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA．再进一步根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
（3）根据相似三角形OBD和ECD求出OD的长，那么S_△ABD=S_△POD，可据此求出三角形POD中OD边上的高，然后同圆O′中点到x轴的最大距离进行比较即可得出P是否在圆上．

解答：解：（1）连接AB，

∵∠BOA=90°，
∴AB为直径，由根与系数关系得OA+OB=-k，OA•OB=60，
根据勾股定理，得OA²+OB²=169，
即（OA+OB）²-2OA•OB=169，
解得k²=289，
故k=±17（正值舍去）．
则有方程x²-17x+60=0，
解得：x=12或5．
又∵OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．

（2）若OC²=CD•CB，则△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
∴点C是弧OA的中点．
连接O′C交OA于点E，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA，

根据垂径定理，得OE=6，根据勾股定理，得O′E=2.5，
故CE=4，即点C坐标为（6，-4）．

（3）假定在⊙上存在点P，使S_△ABD=S_△POD，

∵OB∥EC，
∴△OBD∽△ECD，
∴

OB

EC

=

OD

ED

，即

5

4

=

OD

6-OD

，
解得OD=

10

3

，
∴S_△ABD=

1

2

AD•BO=

65

3

，
∴S_△POD=

65

3

，
故可得在△POD中，OD边上的高为13，即点P到x轴的距离为13，
∵⊙上的点到x轴的最大距离为9，
∴点P不在⊙上，
故在⊙上不存在点P，使S_△ABD=S_△POD．

点评：本题考查了圆的综合题目，涉及了一元二次方程的根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，注意所学知识的融会贯通．