Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=1，且∠A=36°．∠ABC的平分线BD交AC于点D，则cos36°=

5 +1

4

（结果保留根号）．

Answer 1

分析：易证得△CBD∽△CAB，然后设AD=x，则BC=x，CD=1-x，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长，作DE⊥AB，垂足为E，可得AE=

1

2

AB，在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

，即可求得答案．

解答：解：∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴

CB

CA

=

CD

CB

，
∴CB²=CA•CD，
设AD=x，则BC=x，CD=1-x，
∴x²=1-x，
解得：x₁=

5 -1

2

，x₂=

- 5 -1

2

（不合题意，舍去），
∴AD=

5 -1

2

，
作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

；
在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

=

5 +1

4

．
故答案为：

5 +1

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．