Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为________．

Answer 1

分析：本题可以通过证明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值．
解答：解：连接DH．
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，
∴BD==2．
∵O是对称中心，
∴OD=BD=．
∵OH是⊙D的切线，
∴DH⊥OH．
∵DH=1，
∴OH=2．
∴tan∠ADB=tan∠HOD=．
∵∠ADB=∠HOD，
∴OE=ED．
设EH为X，则ED=OE=OH-EH=2-X．
∴1²+X²=（2-X）^2
解得X=．即EH=
又∵∠FOE=∠DHO=90°
∴FO∥DH
∴∠EFO=∠HDE
∴tan∠EFO=tan∠HDE==．
点评：本题主要是考查切线的性质及解直角三角形的应用，关键是利用平行把已知角代换成其它相等的容易求出其正切值的角．