题目内容
【题目】如图，矩形ABCD的周长为32，AB＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结AF，CE，且EF与AC相交于点O.
(1)求AC的长；
(2)求证：四边形AECF是菱形；
(3)求EF的长；
(4)求S△ABF与S△AEF的比值．
【答案】（1）2
；（2）详见解析；（3）
；（4）8∶17
【解析】
（1）矩形ABCD的周长为32，AB＝6，则可求得BC的值，再根据勾股定理求得AC的值；
（2）通过证明△AOE≌△COF，可证明四边形AFEC是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”证明即可；
（3）设AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，由勾股定理可求出x的值，然后由面积法即可求出EF的长；
（4）由(2)(3)知，AE＝CF＝
，BF＝BC－CF＝
，然后根据S△ABF与S△AEF的面积比等于BF∶AE即可得到其比值．
解：(1) ∵矩形ABCD的周长为32，AB＝6，
∴BC=32÷2-6=10，
∴AC＝
＝
＝2；
(2) ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFEC是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
(3)由(2)知，四边形AE CF是菱形，
∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，
则BF＝10－x，
在Rt△ABF中，62＋(10－x)2＝x2，解得x＝，
∴CF＝，
∵S菱形AECF＝
AC·EF＝CF·AB，
∴EF＝
＝；
(4)由(2)(3)知，四边形AECF是菱形，
∴AE＝CF＝，BF＝BC－CF＝，
∵AD∥BC，
∴S△ABF∶S△AEF＝BF∶AE＝∶＝8∶17
【题目】某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：
社团名称 | A．酵素制作社团 | B．回收材料小制作社团 | C．垃圾分类社团 | D．环保义工社团 | E．绿植养护社团 |
人数 | 10 | 15 | 5 | 10 | 5 |
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 ；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
