Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

【答案】(1) t=1或 ;(2)

【解析】试题分析：

（1）由∠B是△BPQ与△ABC的公共角，可知，若两三角形相似，存在两种情况：①△BPQ∽△BAC；②△BPQ∽△BCA；分这两种情况结合相似三角形的性质和题意即可解得对应的t的值；

（2）如图1，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，由题意可知：当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CMP，由相似三角形的性质列出比例式即可解得对应的t的值.

试题解析：

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，

∴由勾股定理可得：BA=；

由题意现分两种情况讨论：

①当△BPQ∽△BAC时， ，

∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，

∴，解得： ；

②当△BPQ∽△BCA时， ，

∴，解得， ；

综上所述，当或时，△BPQ与△ABC相似.

（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图1所示：

∴∠PMB=∠ACB=90°，

∴PM∥AC，

∴△BPM∽△BAC，

∴，即，

∴PM=，BM=，

∴CM=.

∵AQ⊥CP，∠ACB=90°，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM，

∵∠ACQ=∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴，即，解得．