Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣+2经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线在第一象限内的图象上，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AC于点E，连接PC，设点P的横坐标为m．

①当△PCE是等腰三角形时，求m的值；

②过点C作直线PD的垂线，垂足为F．点F关于直线PC的对称点为F′，当点F′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①当△PCE是等腰三角形时，m的值为m＝4﹣，2，；②点P的坐标为(1，3)或(，)

【解析】

（1）先由直线y＝﹣x+2求出A，C的坐标，再将其代入抛物线y＝ax2+x+c中，即可求出抛物线解析式；

（2）①用含m的代数表示出P，E的坐标，再求出含m的代数式的PE的长度，将等腰三角形分三种情况进行讨论，即可分别求出m的值；

②当点F'落在坐标轴上时，存在两种情形，一种是点F'落在y轴上，一种是点F′落在x轴上，分情况即可求出点P的坐标．

解：（1）∵直线y＝﹣x+2经过A，C，

∴A（4，0），C（0，2），

∵抛物线y＝ax2+x+c交x轴于点B，交y轴于点C，

∴，

∴a＝﹣，c＝2，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；

（2）∵点P在抛物线在第一象限内的图象上，点P的横坐标为m，

∴0＜m＜4，P（m，﹣m2+m+2），

①∵PD⊥x轴，交直线y＝﹣x+2于点E，

∴E（m，﹣m+2），

∴PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，

∵PD∥CO，

∴，

∴CE＝＝m，

当PE＝CE时，﹣m2+2m＝m，

解得，m1＝4﹣，m2＝0（舍去）；

当PC＝CE时，PD+ED＝2CO，

即（﹣m2+m+2）+（﹣m+2）＝2×2，

∴﹣m2+m＝0，

解得，m1＝2，m2＝0（舍去）；

当PC＝PE时，取CE中点G，则G（m，﹣m+2），PG⊥AC，

∴∠GEP＝∠OCA，

∴Rt△PGE∽Rt△AOC，

∴＝2，

∴（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝2（m﹣m），

﹣m2+m＝0，

解得，m1＝，m2＝0（舍去），

综上，当△PCE是等腰三角形时，m的值为m＝4﹣，2，；

②P（1，3），P（，），理由如下，

当点F'落在坐标轴上时，存在两种情形：

如图2﹣1，当点F'落在y轴上时，点P（m，﹣m2+m+2）在直线y＝x

+2上，

∴﹣m2+m+2＝m+2，

解得，m1＝1，m2＝0（舍去），

∴P（1，3）；

如图2﹣2，当点F'落在x轴上时，△COF'∽△F'DP，

∴，

∴，

∵PF＝2﹣（﹣m2+m+2）＝m（m﹣3），

∴F'D＝＝m﹣3，

∴OF'＝OD﹣FD＝m﹣（m﹣3）＝3，

在△CBF'中，CF'＝，

∴m＝，P（，），

综上所述，当点F′落在坐标轴上时，点P的坐标为（1，3）或（，）．