Question

我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的各项系数的规律．
例如：（a+b）¹=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…
根据以上规律计算：（a+b）⁴

 

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Answer 1

考点：完全平方公式

专题：规律型

分析：观察可得（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）^n-1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）⁴的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1；第一个字母按降幂排列，第二个字母按升幂排列．

解答：解：根据题意知，（a+b）⁴的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
∴（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．
故答案为：a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．

点评：本题考查了完全平方公式的推广，要注意寻找题中的关键着眼点是：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）^n-1相邻两项的系数和．