Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于F，BE的延长线交CD的延长线于G．
（1）求证：

EG

GB

=

AE

BC

；
（2）若GE=2，BF=3，求线段EF的长．

Answer 1

分析：（1）由于AD∥BC，易证得△GED∽△GBC；得GE：GB=DE：BC；已知AE=DE，代换相等线段后即可得出本题要证的结论．
（2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC=EF：FB，再联立（1）得出的比例关系式，可列出关于EF的方程，即可求得EF的长．

解答：证明：（1）∵AD∥BC
∴∠GED=∠GBC
∵∠G=∠G
∴△GED∽△GBC
∴

GE

GB

=

DE

BC

∵AE=DE
∴

EG

GB

=

AE

BC

；（3分）

（2）∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF（4分）
∴

AE

BC

=

EF

BF

（5分）
由（1）问

EG

GB

=

AE

BC

∴

EG

GB

=

EF

BF

（6分）
设EF=x，∵GE=2，BF=3
∴

x

3

=

2

5+x

（7分）
∴x₁=1，x₂=-6（不合题意，舍去）
∴EF=1．（9分）

点评：此题主要考查了梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质和解一元二次方程．