Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O₁与y轴正半轴交于点C，连接BC、AC，CD是⊙O₁的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD=

1

2

，抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）求抛物线的解析式；
（3）判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质得出O₁C∥AD，进而得出O₁A=O₁C，则∠CAB=∠O₁CA，即可得出答案；
（2）首先得出△CAO∽△BCO，即可得出

OC

OA

=

OB

OC

，再利用OC²=2CO（10-2CO），得出A．B，C交点坐标，即可得出抛物线解析式；
（3）首先求出△AOC≌△ADC即可得出AD=AO=8，利用O₁C∥AD，得出△FO₁C∽△FAD，即可求出F点坐标，求出CD解析式，再利用E点坐标代入解析式即可得出答案．

解答：（1）证明：连接O₁C，
∵CD是⊙O₁的切线，
∴O₁C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O₁C∥AD，
∴∠O₁CA=∠CAD，
∵O₁A=O₁C，
∴∠CAB=∠O₁CA，
∴∠CAD=∠CAB；

（2）解：∵AB是⊙O₁的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴

OC

OA

=

OB

OC

，
即OC²=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=

1

2

，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC²=2CO（10-2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（8，0），B（-2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：

4a-2b+4=0 64a+8b+4=0

，
解得：

a=- 1 4 b= 3 2

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

4

x2+

3

2

x+4；

（3）解：设直线DC交x轴于点F，
在△AOC和△ADC中，

∠CDA=∠COA ∠DAC=∠OAC AC=AC

，
∴△AOC≌△ADC（AAS），
∴AD=AO=8，
∵O₁C∥AD，
∴△FO₁C∽△FAD，
∴

O1F

AF

=

O1C

AD

，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=

10

3

，F（-

16

3

，0）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，则

m=4 - 16 3 k+m=0

，
解得：

m=4 k= 3 4

?，
∴直线DC的解析式为y=

3

4

x+4，
由y=-

1

4

x2+

3

2

x+4=y=-

1

4

(x-3)2+

25

4

得顶点E的坐标为（3，

25

4

），
将E（3，

25

4

）代入直线DC的解析式y=

3

4

x+4中，
右边=

3

4

×3+4=

25

4

=左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，得出A，B，C点坐标是解题关键．