Question

已知抛物线y=x²+mx+n经过点（2，-1），且与x轴交于两点A（a，0）B（b，0），若点P为该抛物线的顶点，求使△PAB面积最小时抛物线的解析式．

Answer 1

解：由题意知4+2m+n=-1，即n=-2m-5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x²+mx+n上，
∴a+b=-m，ab=n，
又∵|AB|=|a-b|=y=x²+mx+n经过（2，-1），代入得，n=-2m-5，
∴，P点纵坐标为，
=，
可见，当m=-4时S_△PAB最小，
解析式为y=x²-4x+3．
分析：A、B两点在x轴上，用|AB|=|a-b|表示线段AB的长，由两根关系转化为m、n的表达式，根据顶点坐标公式得P（-，），故有S_△APB=|AB|•||，将点（2，-1）代入解析式得4+2m+n=-1，即n=-2m-5，转化为关于p的二次函数，求面积最小时m、n的值．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点与顶点构成的三角形的面积问题，将原题转化为二次函数最值问题是解答的基本思路．