Question

已知△ABC．
（1）若∠BAC=40°，画∠BAC和外角∠ACD的角平分线相交于O₁点（如图①），求∠BO₁C的度数；
（2）在（1）的条件下，再画∠O₁BC和∠O₁CD的角平分线相交于O₂点（如图②），求∠BO₂C的度数；
（3）若∠BAC=n°，按上述规律继续画下去，请直接写出∠BO₂₀₁₂C的度数．

Answer 1

分析：由∠O₁CD=∠O₁+∠O₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而O₁B、O₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠O₁CD，∠ABC=2∠O₁BC，于是有∠A=2∠O₁，同理可得∠O₁=2∠O₂，即∠A=2²∠O₂，因此找出规律．

解答：解：∵O₁B、O₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠O₁CD，∠ABC=2∠O₁BC，
而∠O₁CD=∠O₁+∠O₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠0₁=40°，
∴∠O₁=20°，
同理可得∠O₁=2∠O₂，
即∠A=2²∠0₂=40°，
∴∠O₂=10°，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=n°×（

1

2

）ⁿ．
则∠BO₂₀₁₂C=(

1

2

)2012•n⁰．

点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．